Em matemática, uma álgebra filtrada é uma generalização da noção de uma álgebra graduada. Exemplos aparecem em muitos ramos da matemática, especialmente na álgebra homológica e na teoria de representação. Uma álgebra filtrada sobre o corpo
k
{\displaystyle k}
é uma álgebra
( A , ⋅ )
{\displaystyle (A,\cdot )}
sobre
k
{\displaystyle k}
que possui uma sequência crescente
{ 0 } ⊆
F
0
⊆
F
1
⊆ ⋯ ⊆
F
i
⊆ ⋯ ⊆ A
{\displaystyle \{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A}
de subespaços de
A
{\displaystyle A}
tal que
A =
⋃
i ∈
N
F
i
{\displaystyle A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}}
e que é compatível com a multiplicação no seguinte sentido:
∀ m , n ∈
N
,
F
m
⋅
F
n
⊆
F
n + m
.
{\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\quad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}.}
Álgebra graduada associada Em geral, existe a seguinte construção que produz uma álgebra graduada a partir de uma álgebra filtrada.
Se
A
{\displaystyle A}
é uma álgebra filtrada, então a álgebra graduada associada
G
( A )
{\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}
é definida da seguinte forma: A multiplicação é bem definida e dota
G
( A )
{\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}
com a estrutura de uma álgebra graduada, com graduação
{
G
n
}
n ∈
N
.
{\displaystyle \{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.}
Além disso, se
A
{\displaystyle A}
é associativa, então
G
( A )
{\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}
também é. Da mesma forma, se
A
{\displaystyle A}
é unital, tal que a unidade está em
F
0
{\displaystyle F_{0}}
, então
G
( A )
{\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}
também será unital. Como álgebras,
A
{\displaystyle A}
e
G
( A )
{\displaystyle {\mathcal {G}}(A)}
são distintas (com exceção do caso trivial em que
A
{\displaystyle A}
é graduada), mas como espaços vetoriais elas são isomorfas. (Pode-se provar por indução matemática que
⨁
i = 0
n
G
i
{\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}G_{i}}
é isomorfo a
F
n
{\displaystyle F_{n}}
como espaços vetoriais).
Exemplos Qualquer álgebra graduada graduada por
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
, por exemplo
A =
⨁
n ∈
N
A
n
{\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}
, tem uma filtração dada por
F
n
=
⨁
i = 0
n
A
i
{\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}
. Um exemplo de álgebra filtrada é a álgebra de Clifford
Cliff ( V , q )
{\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,q)}
de um espaço vetorial
V
{\displaystyle V}
dotado de uma forma quadrática
q .
{\displaystyle q.}
A álgebra graduada associada é
⋀ V
{\displaystyle \bigwedge V}
, a álgebra exterior de
V .
{\displaystyle V.}
A álgebra simétrica no dual de um espaço afim é uma álgebra filtrada de polinômios; em um espaço vetorial, obtém-se, em vez disso, uma álgebra graduada. A álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
também é naturalmente filtrada. O teorema PBW afirma que a álgebra graduada associada é simplesmente
S y m
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})}
. Os operadores diferenciais escalares em uma variedade
M
{\displaystyle M}
formam uma álgebra filtrada onde a filtração é dada pelo grau dos operadores diferenciais. A álgebra graduada associada é a álgebra comutativa de funções suaves no fibrado cotangente
T
∗
M
{\displaystyle T^{*}M}
que são polinomiais ao longo das fibras da projeção
π :
T
∗
M → M
{\displaystyle \pi \colon T^{*}M\rightarrow M}
. A álgebra de grupo de um grupo com uma função de comprimento é uma álgebra filtrada.
Ver também Filtração (matemática) Função de comprimento
Referências
Bibliografia Abe, Eiichi (1980). Hopf Algebras. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0 Este artigo incorpora material de Filtered algebra do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
