Em matemática, a conjectura de Milnor foi proposta por John Milnor (1970) como uma caracterização da K-teoria de Milnor (módulo 2) de um corpo geral F de característica diferente de 2, em termos da cohomologia de Galois (equivalentemente, da cohomologia étale) de F com coeficientes em

Z

/

2

Z

{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

. O resultado foi demonstrado por Vladimir Voevodsky (1996, 2003a, 2003b).

Enunciado Seja F um corpo de característica diferente de 2. Então existe um isomorfismo

K

n

M

( F )

/

2 ≅

H

e ́

t

n

( F ,

Z

/

2

Z

)

{\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2\cong H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}

para todo n ≥ 0, onde

K

M

{\displaystyle K^{M}}

denota o anel de Milnor (isto é, a K-teoria de Milnor considerada como anel graduado).

Sobre a demonstração A prova de Vladimir Voevodsky combina diversas ideias desenvolvidas por ele e por Alexander Merkurjev, Andrei Suslin, Markus Rost, Fabien Morel, Eric Friedlander e outros. Entre as ferramentas centrais estão a teoria então recente da cohomologia motivica (uma espécie de substituto da cohomologia singular no contexto de variedades algébricas) e a álgebra de Steenrod motivica.

Generalizações O análogo para primos diferentes de 2 ficou conhecido como a conjectura de Bloch–Kato. Trabalhos de Voevodsky e Markus Rost levaram a uma demonstração completa em 2009; o resultado passou a ser denominado teorema do isomorfismo do resíduo de norma.

Referências

Bibliografia Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir; Weibel, Charles (2006). Lecture notes on motivic cohomology. Col: Clay Mathematics Monographs. 2. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3847-1. MR 2242284 Milnor, John Willard (1970). «Algebraic K-theory and quadratic forms». Inventiones Mathematicae. 9 (4): 318–344. Bibcode:1970InMat...9..318M. ISSN 0020-9910. MR 0260844. doi:10.1007/BF01425486 Voevodsky, Vladimir (1996). «The Milnor Conjecture» (Preprint) Voevodsky, Vladimir (2003a). «Reduced power operations in motivic cohomology». Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques. 98 (98): 1–57. ISSN 0073-8301. MR 2031198. arXiv:math/0107109. doi:10.1007/s10240-003-0009-z Voevodsky, Vladimir (2003b). «Motivic cohomology with Z/2-coefficients». Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques. 98 (98): 59–104. ISSN 0073-8301. MR 2031199. doi:10.1007/s10240-003-0010-6

Leitura adicional Kahn, Bruno (2005). «La conjecture de Milnor (d'après V. Voevodsky)». In: Friedlander, Eric M.; Grayson, D. R. Handbook of K-theory (em francês). 2. [S.l.]: Springer-Verlag. pp. 1105–1149. ISBN 3-540-23019-X. Zbl 1101.19001