A órbita circular estável mais interna (frequentemente chamada de ISCO, do inglês innermost stable circular orbit) é a menor órbita circular marginalmente estável na qual uma partícula de teste pode orbitar estavelmente um objeto massivo em relatividade geral. A localização da ISCO, o raio-ISCO (
r
i s c o
{\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}
), depende da massa e do momento angular (spin) do objeto central. A ISCO desempenha um papel importante em discos de acreção de buracos negros, pois marca a borda interna do disco. A ISCO não deve ser confundida com o Limite de Roche, o ponto mais interno onde um objeto físico pode orbitar antes que as forças de maré o fragmentem. A ISCO refere-se a partículas de teste teóricas, não a objetos reais. Em termos gerais, a ISCO estará muito mais próxima do objeto central do que o limite de Roche.
Conceito básico Na mecânica clássica, uma órbita é alcançada quando o momento angular de uma partícula de teste é suficiente para resistir à força da gravidade do objeto central. À medida que a partícula de teste se aproxima do objeto central, a quantidade necessária de momento angular cresce, devido à natureza da Lei do inverso do quadrado da gravitação. Isso pode ser visto em termos práticos em órbitas de satélites artificiais; em órbita geoestacionária a 35786 km a velocidade orbital é de 10800 km/h, enquanto em órbita terrestre baixa é de 27000 km/h. Órbitas podem ser alcançadas em qualquer altitude, pois não há limite superior para a velocidade na mecânica clássica. A Relatividade geral (RG) introduz um limite superior para a velocidade de qualquer objeto: a velocidade da luz. Se uma partícula de teste for baixada em órbita em direção a um objeto central na RG, a partícula eventualmente exigirá uma velocidade maior que a da luz para manter a órbita. Isso define a órbita instantânea circular mais interna possível, conhecida como a órbita circular mais interna, que se situa a 1,5 vezes o Raio de Schwarzschild (para um buraco negro governado pela Métrica de Schwarzschild). Esta distância também é conhecida como a Esfera de fótons. Na RG, a gravidade não é tratada como uma força central que puxa os objetos; em vez disso, ela opera curvando o espaço-tempo, dobrando assim o caminho que qualquer partícula de teste pode percorrer. A ISCO é o resultado de um termo atrativo na equação que representa a energia de uma partícula de teste perto do objeto central. Este termo não pode ser compensado por momento angular adicional, e qualquer partícula dentro deste raio espiralará para o centro. A natureza precisa do termo depende das condições do objeto central (ou seja, se um buraco negro possui momento angular).
Buracos negros não rotativos Para um objeto massivo sem rotação, onde o campo gravitacional pode ser expresso pela Métrica de Schwarzschild, a ISCO está localizada em
r
m s
= 6
G M
c
2
= 3
R
S
,
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }=6{\frac {GM}{c^{2}}}=3R_{S},}
onde
R
S
{\displaystyle R_{S}}
é o raio de Schwarzschild do objeto massivo com massa
M
{\displaystyle M}
. Assim, mesmo para um objeto sem rotação, o raio da ISCO é apenas três vezes o Raio de Schwarzschild,
R
S
{\displaystyle R_{S}}
, sugerindo que apenas buracos negros e estrelas de nêutrons possuem órbitas circulares estáveis mais internas fora de suas superfícies. À medida que o momento angular do objeto central aumenta,
r
i s c o
{\displaystyle r_{\mathrm {isco} }}
diminui. Órbitas circulares ligadas ainda são possíveis entre a ISCO e a chamada órbita marginalmente ligada, que possui um raio de
r
m b
= 4
G M
c
2
=
2
R
S
,
{\displaystyle r_{\mathrm {mb} }=4{\frac {GM}{c^{2}}}={2R_{S}},}
mas elas são instáveis. Entre
r
m b
{\displaystyle r_{\mathrm {mb} }}
e a esfera de fótons, são possíveis as chamadas órbitas não ligadas, que são extremamente instáveis e que proporcionam uma energia total superior à massa de repouso no infinito.
Para uma partícula de teste sem massa, como um fóton, a única órbita circular possível, porém instável, situa-se exatamente na esfera de fótons. Dentro da esfera de fótons, não existem órbitas circulares. O seu raio é
r
p h
= 3
G M
c
2
=
1.5
R
S
.
{\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=3{\frac {GM}{c^{2}}}={1.5R_{S}}.}
A falta de estabilidade dentro da ISCO é explicada pelo facto de que baixar a órbita não libera energia potencial suficiente para a velocidade orbital necessária: a aceleração ganha é muito pequena. Isso é geralmente mostrado por um gráfico do Potencial efetivo orbital que é mais baixo na ISCO.
Buracos negros rotativos O caso de buracos negros rotativos é um pouco mais complicado. A ISCO equatorial na Métrica de Kerr depende de a órbita ser prograda (sinal negativo em
r
m s
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}
) ou retrógrada (sinal positivo em
r
m s
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }}
):
r
m s
=
G M
c
2
(
3 +
Z
2
±
( 3 −
Z
1
) ( 3 +
Z
1
+ 2
Z
2
)
)
≤ 9
G M
c
2
= 4.5
R
S
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }={\frac {GM}{c^{2}}}\left(3+Z_{2}\pm {\sqrt {(3-Z_{1})(3+Z_{1}+2Z_{2})}}\right)\leq 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5\,R_{S}}
onde
Z
1
= 1 +
1 −
χ
2
3
(
1 + χ
3
+
1 − χ
3
)
{\displaystyle Z_{1}=1+{\sqrt[{3}]{1-\chi ^{2}}}\left({\sqrt[{3}]{1+\chi }}+{\sqrt[{3}]{1-\chi }}\right)}
Z
2
=
3
χ
2
+
Z
1
2
{\displaystyle Z_{2}={\sqrt {3\chi ^{2}+Z_{1}^{2}}}}
com o parâmetro de rotação
χ = 2 a
/
R
S
= c J
/
(
M
2
G )
{\displaystyle \chi =2a/R_{S}=cJ/(M^{2}G)}
. À medida que a taxa de rotação do buraco negro aumenta para o máximo de
χ → 1
{\displaystyle \chi \to 1}
, o raio da ISCO prograda, o raio marginalmente ligado e o raio da esfera de fótons diminuem até o raio do Horizonte de eventos no chamado raio gravitacional, ainda assim logicamente e localmente distinguíveis.
r
m s
→
r
m b
→
r
p h
→
r
E
→
r
G
= G M
/
c
2
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to r_{\mathrm {mb} }\to r_{\mathrm {ph} }\to r_{E}\to r_{G}=GM/c^{2}}
Os raios retrógrados aumentam para
r
m s
→ 9
G M
c
2
= 4.5
R
S
{\displaystyle r_{\mathrm {ms} }\to 9{\frac {GM}{c^{2}}}=4.5\,R_{S}}
r
m b
=
G M
c
2
( 1 +
1 ± χ
)
2
→ ( 3 +
8
)
G M
c
2
≈ 2.9142
R
S
{\displaystyle r_{\mathrm {mb} }={\frac {GM}{c^{2}}}(1+{\sqrt {1\pm \chi }})^{2}\to (3+{\sqrt {8}}){\frac {GM}{c^{2}}}\approx 2.9142\,R_{S}}
,
r
p h
= 2
G M
c
2
(
1 + cos
(
2 3
cos
− 1
( ± χ )
)
)
→ 4
G M
c
2
= 2
R
S
{\displaystyle r_{\mathrm {ph} }=2{\frac {GM}{c^{2}}}\left(1+\cos \left({\tfrac {2}{3}}\cos ^{-1}(\pm \chi )\right)\right)\to 4{\frac {GM}{c^{2}}}=2\,R_{S}}
. Se a partícula também estiver a girar (spin), há uma divisão adicional no raio da ISCO dependendo de o spin estar alinhado ou contra a rotação do buraco negro.
Referências
Ligações externas Leo C. Stein, Kerr calculator V2 [1]
